الرياضيات الأساسية الأمثلة

$2 z^{3} - 16 z - 16$

خطوة 1

أخرِج العامل $2$ من $2 z^{3} - 16 z - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 z^{3}$ .

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 16 z$ .

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ .

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $z^{3} - 8 z - 8$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

خطوة 2.1.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

خطوة 2.1.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$- 8 + 16 - 8$

خطوة 2.1.3.4

أضف $- 8$ و $16$ .

$8 - 8$

خطوة 2.1.3.5

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $z + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

خطوة 2.1.5

اقسِم $z^{3} - 8 z - 8$ على $z + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

خطوة 2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $z^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $z$ .

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

خطوة 2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

خطوة 2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $z^{3} + 2 z^{2}$

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

خطوة 2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

خطوة 2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

خطوة 2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 z^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

خطوة 2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

خطوة 2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 z^{2} - 4 z$

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

خطوة 2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

خطوة 2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

خطوة 2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 z$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

خطوة 2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

خطوة 2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 z - 8$

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

خطوة 2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

خطوة 2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$z^{2} - 2 z - 4$

خطوة 2.1.6

اكتب $z^{3} - 8 z - 8$ في صورة مجموعة من العوامل.

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$