الرياضيات الأساسية الأمثلة

$y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

خطوة 3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 54$

خطوة 3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 54$

خطوة 3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$27 - 6 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 54$

خطوة 3.4

اضرب $- 6$ في $9$ .

$27 - 54 + 27 \cdot 3 - 54$

خطوة 3.5

اطرح $54$ من $27$ .

$- 27 + 27 \cdot 3 - 54$

خطوة 3.6

اضرب $27$ في $3$ .

$- 27 + 81 - 54$

خطوة 3.7

أضف $- 27$ و $81$ .

$54 - 54$

خطوة 3.8

اطرح $54$ من $54$ .

$0$

خطوة 4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $y - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54}{y - 3}$

خطوة 5

اقسِم $y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$ على $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$6 y^{2}$

$27 y$

$54$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{3} - 3 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 y^{2} + 9 y$

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$

خطوة 5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $18 y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$

خطوة 5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							+	$18 y$	-	$54$

خطوة 5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $18 y - 54$

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							-	$18 y$	+	$54$

خطوة 5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y^{2}$	-	$3 y$	+	$18$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	-	$6 y^{2}$	+	$27 y$	-	$54$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	+	$27 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$
							+	$18 y$	-	$54$
							-	$18 y$	+	$54$
										$0$

خطوة 5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$y^{2} - 3 y + 18$

خطوة 6

اكتب $y^{3} - 6 y^{2} + 27 y - 54$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(y - 3) (y^{2} - 3 y + 18)$