الرياضيات الأساسية الأمثلة

$4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

خطوة 3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$4 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$4 + 3 - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.6

أضف $4$ و $3$ .

$7 - 5 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.7

اضرب $- 5$ في $1$ .

$7 - 5 - 2$

خطوة 3.8

اطرح $5$ من $7$ .

$2 - 2$

خطوة 3.9

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $t - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2}{t - 1}$

خطوة 5

اقسِم $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ على $t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$t$

$1$

$4 t^{3}$

$3 t^{2}$

$5 t$

$2$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 t^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t$ .

					$4 t^{2}$
	$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			+	$4 t^{3}$	-	$4 t^{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 t^{3} - 4 t^{2}$

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 t^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					+	$7 t^{2}$	-	$7 t$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 t^{2} - 7 t$

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

خطوة 5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 t$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

خطوة 5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							+	$2 t$	-	$2$

خطوة 5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 t - 2$

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$

خطوة 5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$
										$0$

خطوة 5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$4 t^{2} + 7 t + 2$

خطوة 6

اكتب $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(t - 1) (4 t^{2} + 7 t + 2)$