الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

خطوة 1

استخدِم قاعدة الجمع للجيب لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

خطوة 2.1.1.2

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

خطوة 2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

خطوة 2.1.1.4

اضرب $0$ في $\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

خطوة 2.1.2

أضف $\cos (θ)$ و $0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\tan (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

خطوة 4

اضرب كلا المتعادلين في $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

خطوة 5

اضرب $\cos (θ) \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

خطوة 5.2

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

خطوة 6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

خطوة 7

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

خطوة 8

أضف $\sin (θ)$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

خطوة 9

استبدِل $\cos^{2} (θ)$ بـ $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $\sin (θ)$ التي تساوي $u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

خطوة 10.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 10.3

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = 1$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 10.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 10.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 10.4.1.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 10.4.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 10.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

خطوة 10.4.3

بسّط $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 10.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 10.6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 10.7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 10.8

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10.9

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

خطوة 10.9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

خطوة 10.9.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

خطوة 10.9.4

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.4.1

احذِف الأقواس.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

خطوة 10.9.4.2

احذِف الأقواس.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

خطوة 10.9.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

خطوة 10.9.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.9.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.66623943$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.66623943 + 2 π$

خطوة 10.9.6.2

اطرح $0.66623943$ من $2 π$ .

$5.61694587$

خطوة 10.9.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 5.61694587$

خطوة 10.9.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.10

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$