الجبر الأمثلة

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{3}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 1$ و $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 4

اضرب ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

خطوة 7

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 8

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 9

اضرب $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ في $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 10

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

خطوة 10.2

اجمع.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

خطوة 11

طبّق خاصية التوزيع.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.6

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.7

اجمع $- 3$ و $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

اضرب $- 3$ في $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.9.2

اطرح $81$ من $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

خطوة 14.2

اطرح $3$ من $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

خطوة 15

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

خطوة 16

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{80}{27}$ إلى بسط الكسر.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

خطوة 16.2

أخرِج العامل $2$ من $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

خطوة 16.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

خطوة 16.4

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

خطوة 16.5

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

خطوة 17

اضرب $\frac{- 40}{27}$ في $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

خطوة 18

اضرب $27$ في $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

خطوة 19

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{4} = \frac{40}{27}$