الجبر الأمثلة

$y = e^{2 x + 5}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = e^{2 y + 5}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{2 y + 5} = x$ .

$e^{2 y + 5} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 y + 5}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $\ln (e^{2 y + 5})$ بنقل $2 y + 5$ خارج اللوغاريتم.

$(2 y + 5) \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(2 y + 5) \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2 y + 5$ في $1$ .

$2 y + 5 = \ln (x)$

خطوة 2.4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 y = \ln (x) - 5$

خطوة 2.5

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x) - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x) - 5$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 2.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

خطوة 2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{2 x + 5})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5})}{2} - \frac{5}{2}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5}) - 5}{2}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2 x + 5$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \ln (e) - 5}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \cdot 1 - 5}{2}$

خطوة 4.2.4.3

اضرب $2 x + 5$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

خطوة 4.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x + 5 - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 4.2.5.1.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.5.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) - \frac{5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (x)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.3

بسّط $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

خطوة 4.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 + 5}$

خطوة 4.3.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

خطوة 4.3.3.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

خطوة 4.3.3.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{1}) - 5 + 5}$

خطوة 4.3.3.5.2

بسّط.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) - 5 + 5}$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (x) - 5 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

خطوة 4.3.4.2

أضف $\ln (x)$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$