الجبر الأمثلة

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

خطوة 1

اجمع $i$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

خطوة 2

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 3

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 4

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ و $b = - \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.6

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

خطوة 5.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 5.7.2

اضرب $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 5.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 5.8.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

خطوة 5.8.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

خطوة 5.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

خطوة 5.9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

خطوة 5.9.3

أضف $1$ و $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

خطوة 5.9.4

اقسِم $4$ على $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

خطوة 5.9.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| z | = 1$

خطوة 6

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

خطوة 7

بما أن دالة المماس العكسية لـ $\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

خطوة 8

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{7 π}{6}$ و $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$