الجبر الأمثلة

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.5

اضرب ${\sqrt{2}}^{2}$ في $\sqrt{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

انقُل $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.5.2

اضرب $\sqrt{2}$ في ${\sqrt{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.8

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.10

اضرب $2$ في $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.11

طبّق قاعدة الضرب على $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.12

اضرب $\sqrt{2}$ في ${\sqrt{2}}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.12.1

انقُل ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.12.2

اضرب ${\sqrt{2}}^{2}$ في $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.12.2.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.12.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.12.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.13

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.14

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.15

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.15.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.15.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.16

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.17

اضرب $2$ في $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.18

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.19

اضرب $- 1$ في $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

خطوة 2.1.20

طبّق قاعدة الضرب على $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

خطوة 2.1.21

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

خطوة 2.1.22

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

خطوة 2.1.23

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

خطوة 2.1.24

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

خطوة 2.1.25

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

خطوة 2.1.26

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.26.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

خطوة 2.1.26.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 2.1.27

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

خطوة 2.1.28

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $6 \sqrt{2}$ من $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

خطوة 2.2.3

اطرح $2 i \sqrt{2}$ من $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 2.2.4

أعِد ترتيب $4 i \sqrt{2}$ و $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 4 \sqrt{2}$ و $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $16$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 6.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.3.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

خطوة 6.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

خطوة 6.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $16$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

خطوة 6.5.2

أضف $32$ و $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

خطوة 6.5.3

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 6.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 8$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{4}$ و $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$