الجبر الأمثلة

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

خطوة 1

اكتب $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ في صورة معادلة.

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

خطوة 2.2.2.1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.4

اضرب $4$ في $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.5

أضف $8$ و $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.6

اضرب $- 3$ في $2$ .

$24 - 6 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.7

اطرح $6$ من $24$ .

$18 - 18$

خطوة 2.2.2.1.3.8

اطرح $18$ من $18$ .

$0$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

خطوة 2.2.2.1.5

اقسِم $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

خطوة 2.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

خطوة 2.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 2.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 2.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

خطوة 2.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 2.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

خطوة 2.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

خطوة 2.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

خطوة 2.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 6 x + 9$

خطوة 2.2.2.1.6

اكتب $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x + 3)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

عيّن قيمة ${(x + 3)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 3)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 2.2.5.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 3$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(2, 0), (- 3, 0)$

خطوة 3

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.3

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.4

بسّط ${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.4.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.4.1.3

اضرب $4$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 3 \cdot 0 - 18$

خطوة 3.2.4.1.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

خطوة 3.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 18$

خطوة 3.2.4.2.3

اطرح $18$ من $0$ .

$y = - 18$

خطوة 3.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 18)$

خطوة 4

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(2, 0), (- 3, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 18)$

خطوة 5