الجبر الأمثلة

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

خطوة 4.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اجمع $\frac{π \cdot 4}{3}$ و $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

خطوة 4.1.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

خطوة 4.1.3

بما أن $\frac{4 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $\frac{4 π r^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ هو $f' (g (V)) g' (V)$ حيث $f (V) = V^{3}$ و $g (V) = r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

خطوة 4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $3$ و $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

خطوة 4.3.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

خطوة 4.3.3

اجمع $r^{2}$ و $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.4

انقُل $12$ إلى يسار $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.3.5.2.4

اقسِم $4 r^{2} π$ على $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d V} [r]$ بالصيغة $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب عوامل $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 4 π r^{2} r'$

خطوة 6

أوجِد قيمة $r'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $4 π r^{2} r' = 1$ على $4 π r^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $4 π r^{2} r' = 1$ على $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 6.2.2.3.2

اقسِم $r'$ على $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

خطوة 7

استبدِل $r'$ بـ $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$