الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 5$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

خطوة 4.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 11$ في $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

خطوة 4.1.4

اضرب $43$ في $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $275$ من $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

خطوة 4.2.2

أضف $- 150$ و $215$ .

$65 - 65$

خطوة 4.2.3

اطرح $65$ من $65$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $5$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 5$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(5)$ وضَع نتيجة $(5)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 6)$ في المقسوم عليه $(5)$ وضَع نتيجة $(- 30)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(13)$ في المقسوم عليه $(5)$ وضَع نتيجة $(65)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 6 x + 13$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 6$ و $c = 13$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح $52$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (16)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.3

اطرح $52$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (16)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

خطوة 7.4.3

بسّط $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

خطوة 7.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 3 + 2 i$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

اطرح $52$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (16)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

خطوة 7.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 3 - 2 i$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

خطوة 10