الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 111 x + 110$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 111$ في $1$ .

$1 - 111 + 110$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $111$ من $1$ .

$- 110 + 110$

خطوة 4.2.2

أضف $- 110$ و $110$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$	$1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 111)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 110$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 110)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 110)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(110)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 1 x - 110$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} + x - 110$

خطوة 7

حلّل $x^{2} + x - 110$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 110$ ومجموعهما $1$ .

$- 10, 11$

خطوة 7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) + (x - 10) (x + 11)$

$(x - 1) (x - 10) (x + 11)$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل $x^{3} - 111 x + 110$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

$q = \pm 1$

خطوة 8.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

خطوة 8.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

خطوة 8.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $- 111$ في $1$ .

$1 - 111 + 110$

خطوة 8.1.3.4

اطرح $111$ من $1$ .

$- 110 + 110$

خطوة 8.1.3.5

أضف $- 110$ و $110$ .

$0$

خطوة 8.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

خطوة 8.1.5

اقسِم $x^{3} - 111 x + 110$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$111 x$

$110$

خطوة 8.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$

خطوة 8.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 8.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 8.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

خطوة 8.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

خطوة 8.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

خطوة 8.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 8.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 8.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$

خطوة 8.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

خطوة 8.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 110 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

خطوة 8.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							-	$110 x$	+	$110$

خطوة 8.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 110 x + 110$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$

خطوة 8.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$
										$0$

خطوة 8.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + x - 110$

خطوة 8.1.6

اكتب $x^{3} - 111 x + 110$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} + x - 110) = 0$

خطوة 8.2

حلّل $x^{2} + x - 110$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل $x^{2} + x - 110$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

$- 10, 11$

خطوة 8.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x - 10) (x + 11)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 11 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 11.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 11 = 0$

خطوة 12.2

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x = - 11$

خطوة 13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$ صحيحة.

$x = 1, 10, - 11$

خطوة 14