الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 3$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

خطوة 4.1.3

اضرب $3$ في $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 7$ في $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 27$ و $27$ .

$0 + 21 - 21$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $21$ .

$21 - 21$

خطوة 4.2.3

اطرح $21$ من $21$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 3$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(- 3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 7)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(21)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 7$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 7$

خطوة 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

خطوة 7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{7}$

خطوة 7.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{7}$

خطوة 7.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

الصيغة العشرية:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

خطوة 11