الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

خطوة 4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

خطوة 4.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 5$ في $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من $- 1$ .

$- 6 + 6$

خطوة 4.2.3

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 6)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 6)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

خطوة 6.13

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 6)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 6)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

خطوة 6.14

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

خطوة 6.15

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

خطوة 6.16

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.2.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.5

حلّل $u^{2} - u - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 3, 2$

خطوة 7.1.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.7

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

خطوة 7.1.8

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

خطوة 7.1.9

حلّل $u^{2} - u - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.9.1

$- 3, 2$

خطوة 7.1.9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

خطوة 7.1.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

خطوة 7.1.11

أخرِج العامل $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ من $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.1

أخرِج العامل $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ من $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

خطوة 7.1.11.2

أخرِج العامل $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ من $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

خطوة 7.1.11.3

أخرِج العامل $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ من $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 7.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 7.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 7.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 2$

خطوة 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

خطوة 7.4.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

خطوة 7.4.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (2)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

خطوة 7.4.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

خطوة 7.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{2}$

خطوة 7.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{2}$

خطوة 7.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 7.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

خطوة 10