الجبر الأمثلة

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4.1.3

اضرب $12$ في $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 15$ في $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 24$ في $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

خطوة 4.2.2

اطرح $15$ من $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

خطوة 4.2.3

اطرح $24$ من $- 2$ .

$- 26 + 26$

خطوة 4.2.4

أضف $- 26$ و $26$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(13)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(13)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 26)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 26)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $12 x$ من $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

خطوة 9.5

حلّل $u^{2} - 15 u + 26$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $26$ ومجموعهما $- 15$ .

$- 13, - 2$

خطوة 9.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

خطوة 9.9

حلّل $12 u + u^{2} - 13$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 13$ ومجموعهما $12$ .

$- 1, 13$

خطوة 9.9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 12.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 13 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $13$ من كلا المتعادلين.

$x = - 13$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ صحيحة.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

الصيغة العشرية:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

خطوة 16