الجبر الأمثلة

$8^{x}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 8^{y}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8^{y} = x$ .

$8^{y} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (8^{y}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع $\ln (8^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (8) = \ln (x)$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $y \ln (8) = \ln (x)$ على $\ln (8)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $y \ln (8) = \ln (x)$ على $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ هي معكوس $f (x) = 8^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} \cdot 8^{x}$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

خطوة 4.2.3

وسّع $\ln (8^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x)}{\ln (8)}}$

خطوة 4.3.3

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\log_{8} (x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ هي معكوس $f (x) = 8^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$