الجبر الأمثلة

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

خطوة 2.3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y, 1$

خطوة 2.3.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y$

خطوة 2.3.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{y} = 12^{x}$ في $y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y} = 12^{x}$ في $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

خطوة 2.3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = 12^{x} y$

خطوة 2.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

خطوة 2.3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

خطوة 2.3.4.2

اقسِم كل حد في $y \cdot 12^{x} = 1$ على $12^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اقسِم كل حد في $y \cdot 12^{x} = 1$ على $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

خطوة 2.3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

خطوة 2.3.4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ هي معكوس $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

خطوة 4.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

خطوة 4.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

خطوة 4.2.5

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{1}{12^{x}})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

خطوة 4.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ بالصيغة $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

خطوة 4.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

خطوة 4.3.6

أساس اللوغاريتم $12$ لـ $12$ هو $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

خطوة 4.3.7

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

خطوة 4.3.8

أساس اللوغاريتم $12$ لـ $1$ هو $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

خطوة 4.3.9

أضف $0$ و $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ هي معكوس $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$