الجبر الأمثلة

$y = \log_{4} (x) + 1$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{4} (y) + 1$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\log_{4} (y) = x - 1$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\log_{4} (y) = x - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

خطوة 4.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

خطوة 4.2.3.2

أضف $\log_{4} (x)$ و $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

خطوة 4.2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (4^{x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x - 1$ خارج الأُس.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

خطوة 4.3.3.2

أساس اللوغاريتم $4$ لـ $4$ هو $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

خطوة 4.3.3.3

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

خطوة 4.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$