الجبر الأمثلة

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.1.6

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.1.7

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

خطوة 1.2

حلّل $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1$

خطوة 1.2.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.2.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.2.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.2.3.5

اطرح $3$ من $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.2.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

خطوة 1.2.3.7

أضف $- 2$ و $3$ .

$1 - 1$

خطوة 1.2.3.8

اطرح $1$ من $1$ .

$0$

خطوة 1.2.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

خطوة 1.2.5

اقسِم $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

خطوة 1.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 1.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 1.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 1.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 1.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 1.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

خطوة 1.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

خطوة 1.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

خطوة 1.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 2 x + 1$

خطوة 1.2.6

اكتب $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ في صورة مجموعة من العوامل.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

خطوة 1.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

خطوة 1.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

خطوة 1.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

خطوة 1.4

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

خطوة 1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

خطوة 6