الجبر الأمثلة

$x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

خطوة 1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

خطوة 1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 9$ في $1$ .

$1 - 9 + 23 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.1.3.5

اطرح $9$ من $1$ .

$- 8 + 23 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $23$ في $1$ .

$- 8 + 23 - 15$

خطوة 1.1.3.7

أضف $- 8$ و $23$ .

$15 - 15$

خطوة 1.1.3.8

اطرح $15$ من $15$ .

$0$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15}{x - 1}$

خطوة 1.1.5

اقسِم $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$23 x$

$15$

خطوة 1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$

خطوة 1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

خطوة 1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$

خطوة 1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 8 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$

خطوة 1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$

خطوة 1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $15 x - 15$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

خطوة 1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

خطوة 1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 8 x + 15$

خطوة 1.1.6

اكتب $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

خطوة 1.2

حلّل $x^{2} - 8 x + 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل $x^{2} - 8 x + 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $15$ ومجموعهما $- 8$ .

$- 5, - 3$

خطوة 1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x - 5) (x - 3) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 4.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x - 5) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 1, 5, 3$

خطوة 7