الجبر الأمثلة

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

خطوة 1

اطرح $\frac{2}{x - 1}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{1}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{2}{x - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 1) (x - 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{2}{x - 1}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.5.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.5.4

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $- (x + 3)$ بالصيغة $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 6

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 7

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

خطوة 8

وحّد الحلول.

$x = - 3, - 1, 1$

خطوة 9

أوجِد نطاق $- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 9.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 9.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 9.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 9.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 11.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $- 0.2$ أكبر من الطرف الأيمن $- 0.\overline{285714}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 11.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 1$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $- 0.\overline{6}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 11.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $1$ أكبر من الطرف الأيمن $- 2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 11.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

خطوة 11.4.3

الطرف الأيسر $0.2$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0.\overline{6}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 3$ أو $- 1 < x < 1$

خطوة 13

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

خطوة 14