الجبر الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$

خطوة 1

عيّن قيمة $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

حلّل $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

خطوة 2.1.1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.5

اضرب $- 5$ في $4$ .

$16 - 20 - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.6

اطرح $20$ من $16$ .

$- 4 - 4 \cdot 2 + 12$

خطوة 2.1.1.3.7

اضرب $- 4$ في $2$ .

$- 4 - 8 + 12$

خطوة 2.1.1.3.8

اطرح $8$ من $- 4$ .

$- 12 + 12$

خطوة 2.1.1.3.9

أضف $- 12$ و $12$ .

$0$

خطوة 2.1.1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

خطوة 2.1.1.5

اقسِم $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$12$

خطوة 2.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$

خطوة 2.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 2.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 2.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 2.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} + 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 2.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$

خطوة 2.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

خطوة 2.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

خطوة 2.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

خطوة 2.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x + 12$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

خطوة 2.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

خطوة 2.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} - x - 6$

خطوة 2.1.1.6

اكتب $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (2 x^{2} - x - 6) = 0$

خطوة 2.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$(x - 2) (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

خطوة 2.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $3$ زائد $- 4$

$(x - 2) (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

خطوة 2.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

خطوة 2.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 2) ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

خطوة 2.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 2) (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

خطوة 2.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 3$ .

$(x - 2) ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

خطوة 2.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $2 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 3 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 3$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3}{2}$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - \frac{3}{2}$

خطوة 3