الجبر الأمثلة

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

خطوة 1

اطرح $\frac{x - 5}{x - 3}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x - 1}{x + 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{x - 5}{x - 3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 2) (x - 3)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x - 1}{x + 2}$ في $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{x - 5}{x - 3}$ في $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $(x - 1) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.2.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $x$ من $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.4

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.5

وسّع $(- x + 5) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.6.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.6.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.6.1.3

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.6.2

أضف $- 2 x$ و $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.7

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.8

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.9

أضف $- 4 x$ و $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.5.10

أضف $3$ و $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $13$ بالصيغة $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $- (x - 13)$ بالصيغة $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 4

أضف $13$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 13$

خطوة 5

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

خطوة 8

وحّد الحلول.

$x = 13, - 2, 3$

خطوة 9

أوجِد نطاق $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 9.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 9.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 9.2.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 9.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 3$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 11.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $2.5$ أكبر من الطرف الأيمن $1.\overline{285714}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 11.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 0.5$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $1.\overline{6}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $3 < x < 13$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $3 < x < 13$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 11.3.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $0.7$ أكبر من الطرف الأيمن $0.6$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 13$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 13$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 16$

خطوة 11.4.2

استبدِل $x$ بـ $16$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

خطوة 11.4.3

الطرف الأيسر $0.8\overline{3}$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0.\overline{846153}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 3$ خطأ

$3 < x < 13$ صحيحة

$x > 13$ خطأ

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 3$ خطأ

$3 < x < 13$ صحيحة

$x > 13$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 2$ أو $3 < x < 13$

خطوة 13

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

خطوة 14