الجبر الأمثلة

$f (x) = {1.5}^{x} + 4$

خطوة 1

اكتب $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ في صورة معادلة.

$y = {1.5}^{x} + 4$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = {1.5}^{y} + 4$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${1.5}^{y} + 4 = x$ .

${1.5}^{y} + 4 = x$

خطوة 3.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

${1.5}^{y} = x - 4$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln ({1.5}^{y}) = \ln (x - 4)$

خطوة 3.4

وسّع $\ln ({1.5}^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ على $\ln (1.5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ على $\ln (1.5)$ .

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (1.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ هي معكوس $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln (({1.5}^{x} + 4) - 4)}{\ln (1.5)}$

خطوة 5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في ${1.5}^{x} + 4 - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $4$ من $4$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x} + 0)}{\ln (1.5)}$

خطوة 5.2.3.2

أضف ${1.5}^{x}$ و $0$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x})}{\ln (1.5)}$

خطوة 5.2.4

وسّع $\ln ({1.5}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (1.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}} + 4$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\log_{1.5} (x - 4)} + 4$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x - 4 + 4$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 4 + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ هي معكوس $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$