الجبر الأمثلة

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

خطوة 2.2

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

خطوة 2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$7^{y - 1} = 3 x$

خطوة 2.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

خطوة 2.5

وسّع $\ln (7^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

خطوة 2.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط $(y - 1) \ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

خطوة 2.6.1.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (7)$ بالصيغة $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

خطوة 2.7

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

خطوة 2.8

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $\ln (7)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

خطوة 2.8.2

أضف $\ln (3 x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

خطوة 2.9

اقسِم كل حد في $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ على $\ln (7)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اقسِم كل حد في $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ على $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 2.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 2.9.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 2.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 2.9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $7^{x - 1}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3.2

وسّع $\ln (7^{x - 1})$ بنقل $x - 1$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

خطوة 4.2.3.3.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $0$ و $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

خطوة 4.3.4

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

خطوة 4.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

خطوة 4.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

خطوة 4.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

خطوة 4.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$