الجبر الأمثلة

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $3 e^{- 4 y + 1} = x$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $3 e^{- 4 y + 1} = x$ على $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $e^{- 4 y + 1}$ على $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

خطوة 2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وسّع $\ln (e^{- 4 y + 1})$ بنقل $- 4 y + 1$ خارج اللوغاريتم.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 4 y + 1$ في $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 2.5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

خطوة 2.6

اقسِم كل حد في $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اقسِم كل حد في $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 2.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 2.6.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ هي معكوس $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.1.2

اقسِم $e^{- 4 x + 1}$ على $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 4 x + 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.4

اضرب $- 4 x + 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.6

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

خطوة 4.2.4.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

خطوة 4.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

خطوة 4.2.5.1.2

أضف $4 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 4.2.5.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ بالصيغة $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.1.2

بسّط $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.3

اضرب $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.3.2

بسّط $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

خطوة 4.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

خطوة 4.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.2.2

بسّط.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.3.1

اضرب الأُسس في ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.3.5.3.2

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

خطوة 4.3.4.2

أضف $\ln (\frac{x}{3})$ و $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

خطوة 4.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 4.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 4.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ هي معكوس $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$