الجبر الأمثلة

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

خطوة 1.2.3

بما أن $\frac{π}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π}{12} (x - 2)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

خطوة 1.2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

خطوة 1.2.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

خطوة 1.2.7

أضف $1$ و $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

خطوة 1.2.8

اضرب $\frac{π}{12}$ في $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

خطوة 1.2.9

اجمع $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ و $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

خطوة 1.2.10

اجمع $5$ و $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{π}{12}$ و $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.5

اجمع $\frac{π}{12}$ و $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

خطوة 1.3.2.6

أضف $0$ و $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{5 π}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{5 π}{12}$ و $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{π}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{12}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.5

اضرب $\frac{π}{12}$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

خطوة 2.3.6

بما أن $- \frac{π}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

خطوة 2.3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $\frac{π}{12}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $\frac{π}{12}$ في $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

خطوة 2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

خطوة 2.8

اضرب $12$ في $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ على $5 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ على $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ على $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

خطوة 5.1.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $\frac{π}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.4.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.4.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.4.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

خطوة 5.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

خطوة 5.4.5.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

خطوة 5.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

خطوة 5.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

خطوة 5.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.5

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.6.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

خطوة 5.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

خطوة 5.6.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

خطوة 5.6.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 4 \cdot 2$

خطوة 5.6.2.1.3

اضرب $4$ في $2$ .

$x = 8$

خطوة 5.7

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.8.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.8.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.8.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

أضف $\frac{π}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.2

لكتابة $\frac{3 π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.3.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 5.8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

خطوة 5.8.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.5.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

خطوة 5.8.2.5.2

أضف $9 π$ و $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

خطوة 5.8.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

خطوة 5.8.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

خطوة 5.8.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.8.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.8.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

خطوة 5.8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

خطوة 5.8.4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

خطوة 5.8.4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 4 \cdot 5$

خطوة 5.8.4.2.1.3

اضرب $4$ في $5$ .

$x = 20$

خطوة 5.9

حل المعادلة $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 8$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $4$ من $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.2

لكتابة $\frac{2 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $\frac{2 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

خطوة 7.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

خطوة 7.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

خطوة 7.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

خطوة 7.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

خطوة 7.2.8

اضرب $5$ في $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

خطوة 8

$x = 8$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 8$ هي حد أقصى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اطرح $2$ من $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

خطوة 9.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

خطوة 9.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

خطوة 9.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 9.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

خطوة 9.2.2

أضف $- 2$ و $5$ .

$f (8) = 3$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$y = 3$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 20$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أخرِج العامل $4$ من $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

انقُل $5$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.2

لكتابة $\frac{5 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اضرب $\frac{5 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $2$ في $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.5.2

اطرح $π$ من $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

خطوة 11.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

خطوة 11.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

خطوة 11.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

خطوة 11.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

خطوة 11.2.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

خطوة 11.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

خطوة 11.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

خطوة 11.2.10

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

خطوة 11.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

خطوة 11.4

اضرب $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

خطوة 11.4.2

اضرب $\frac{5 π^{2}}{144}$ في $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

خطوة 12

$x = 20$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 20$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $20$ في العبارة.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

اطرح $2$ من $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

خطوة 13.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

خطوة 13.2.1.2.2

أخرِج العامل $6$ من $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

خطوة 13.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

خطوة 13.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

خطوة 13.2.1.3

اجمع $\frac{π}{2}$ و $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

خطوة 13.2.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

خطوة 13.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.1.7

اضرب $5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

خطوة 13.2.1.7.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

خطوة 13.2.2

اطرح $5$ من $- 2$ .

$f (20) = - 7$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $- 7$ .

$y = - 7$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ هي نقطة قصوى محلية

$(20, - 7)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 15