الجبر الأمثلة

$y = \ln (x)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (y)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (y) = x$ .

$\ln (y) = x$

خطوة 2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\ln (y) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y$

خطوة 2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{x}$ .

$y = e^{x}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = e^{x}$ هي معكوس $f (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (e^{x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

خطوة 4.3.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

خطوة 4.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$f (e^{x}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = e^{x}$ هي معكوس $f (x) = \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x}$