الجبر الأمثلة

$y = \log_{2} (x + 7)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{2} (y + 7)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{2} (y + 7) = x$ .

$\log_{2} (y + 7) = x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log_{2} (y + 7) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 7$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y + 7 = 2^{x}$ .

$y + 7 = 2^{x}$

خطوة 2.3.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$y = 2^{x} - 7$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ هي معكوس $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{2} (x + 7))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = 2^{\log_{2} (x + 7)} - 7$

خطوة 4.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 7 - 7$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 7 - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $7$ من $7$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (2^{x} - 7)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} ((2^{x} - 7) + 7)$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(2^{x} - 7) + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أضف $- 7$ و $7$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

خطوة 4.3.3.2

أضف $2^{x}$ و $0$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x})$

خطوة 4.3.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (2^{x} - 7) = x \log_{2} (2)$

خطوة 4.3.5

أساس اللوغاريتم $2$ لـ $2$ هو $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ هي معكوس $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$