الجبر الأمثلة

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

خطوة 2.2

اضرب كلا المتعادلين في $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

خطوة 2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y + 2} = 5 x$

خطوة 2.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

خطوة 2.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $\ln (e^{y + 2})$ بنقل $y + 2$ خارج اللوغاريتم.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

خطوة 2.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

خطوة 2.5.3

اضرب $y + 2$ في $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

خطوة 2.6

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y = \ln (5 x) - 2$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

خطوة 4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

خطوة 4.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

خطوة 4.2.3.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x + 2$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

خطوة 4.2.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

خطوة 4.2.3.5

اضرب $x + 2$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (5 x) - 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $\ln (5 x)$ و $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

خطوة 4.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

خطوة 4.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$