الجبر الأمثلة

f (x) = x^{2} + 4 x - 2

$f (x) = x^{2} + 4 x - 2$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ

x^{2} + 4 x - 2

$x^{2} + 4 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم

a

$a$ و

b

$b$ و

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 4

$b = 4$

c = - 2

$c = - 2$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة

d

$d$ باستخدام القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي

a

$a$ و

b

$b$ في القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ

4

$4$ و

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

4

$4$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.4

اقسِم

$2$ على

$1$ .

$d = 2$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة

$e$ باستخدام القاعدة

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم

$c$ و

$b$ و

$a$ في القاعدة

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ

$4^{2}$ و

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.1

أخرِج العامل

$4$ من

$4^{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل

$4$ من

$4 \cdot 1$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = - 2 - \frac{4}{1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2.4

اقسِم

$4$ على

$1$ .

$e = - 2 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$4$ .

$e = - 2 - 4$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح

$4$ من

$- 2$ .

$e = - 6$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم

$a$ و

$d$ و

$e$ في شكل الرأس

${(x + 2)}^{2} - 6$ .

${(x + 2)}^{2} - 6$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة

$y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = {(x + 2)}^{2} - 6$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس،

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم

$a$ و

$h$ و

$k$ .

$a = 1$

$h = - 2$

$k = - 6$

خطوة 1.3

بما أن قيمة

$a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس

$(h, k)$ .

$(- 2, - 6)$

خطوة 1.5

أوجِد

$p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة

$a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع

$p$ مع الإحداثي الصادي

$k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم

$h$ و

$p$ و

$k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 2, - \frac{23}{4})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - 2$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح

$p$ من الإحداثي الصادي

$k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي

$p$ و

$k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{25}{4}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(- 2, - 6)$

البؤرة:

$(- 2, - \frac{23}{4})$

محور التناظر:

$x = - 2$

الدليل:

$y = - \frac{25}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(- 2, - 6)$

البؤرة:

$(- 2, - \frac{23}{4})$

محور التناظر:

$x = - 2$

الدليل:

$y = - \frac{25}{4}$

خطوة 2

حدد بعض قيم

$x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم

$y$ المناظرة. يجب تحديد قيم

$x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) - 2$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع

$- 3$ إلى القوة

$2$ .

$f (- 3) = 9 + 4 (- 3) - 2$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

$4$ في

$- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 12 - 2$

خطوة 2.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح

$12$ من

$9$ .

$f (- 3) = - 3 - 2$

خطوة 2.2.2.2

اطرح

$2$ من

$- 3$ .

$f (- 3) = - 5$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي

$- 5$ .

$- 5$

خطوة 2.3

قيمة

$y$ عند

$x = - 3$ تساوي

$- 5$ .

$y = - 5$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 2$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع

$- 4$ إلى القوة

$2$ .

$f (- 4) = 16 + 4 (- 4) - 2$

خطوة 2.5.1.2

اضرب

$4$ في

$- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 16 - 2$

خطوة 2.5.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح

$16$ من

$16$ .

$f (- 4) = 0 - 2$

خطوة 2.5.2.2

اطرح

$2$ من

$0$ .

$f (- 4) = - 2$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي

$- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.6

قيمة

$y$ عند

$x = - 4$ تساوي

$- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) - 2$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$f (- 1) = 1 + 4 (- 1) - 2$

خطوة 2.8.1.2

اضرب

$4$ في

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 4 - 2$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح

$4$ من

$1$ .

$f (- 1) = - 3 - 2$

خطوة 2.8.2.2

اطرح

$2$ من

$- 3$ .

$f (- 1) = - 5$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي

$- 5$ .

$- 5$

خطوة 2.9

قيمة

$y$ عند

$x = - 1$ تساوي

$- 5$ .

$y = - 5$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{2} + 4 (0) - 2$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 4 (0) - 2$

خطوة 2.11.1.2

اضرب

$4$ في

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

خطوة 2.11.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

أضف

$0$ و

$0$ .

$f (0) = 0 - 2$

خطوة 2.11.2.2

اطرح

$2$ من

$0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي

$- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.12

قيمة

$y$ عند

$x = 0$ تساوي

$- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(- 2, - 6)$

البؤرة:

$(- 2, - \frac{23}{4})$

محور التناظر:

$x = - 2$

الدليل:

$y = - \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}$

خطوة 4