الجبر الأمثلة

f (x) = x^{2} - 4 x - 1

$f (x) = x^{2} - 4 x - 1$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ

x^{2} - 4 x - 1

$x^{2} - 4 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم

a

$a$ و

b

$b$ و

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = - 1

$c = - 1$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة

d

$d$ باستخدام القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي

a

$a$ و

b

$b$ في القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ

- 4

$- 4$ و

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.4

اقسِم

- 2

$- 2$ على

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة

e

$e$ باستخدام القاعدة

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم

c

$c$ و

b

$b$ و

a

$a$ في القاعدة

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ و

4

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.1

أعِد كتابة

- 4

$- 4$ بالصيغة

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.3

ارفع

- 1

$- 1$ إلى القوة

2

$2$ .

e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.4

اضرب

4^{2}

$4^{2}$ في

1

$1$ .

e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.5

أخرِج العامل

4

$4$ من

4^{2}

$4^{2}$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.6.1

أخرِج العامل

4

$4$ من

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

e = - 1 - \frac{4}{1}

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.1.6.4

اقسِم

4

$4$ على

1

$1$ .

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

4

$4$ .

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح

4

$4$ من

- 1

$- 1$ .

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم

a

$a$ و

d

$d$ و

e

$e$ في شكل الرأس

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$ .

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة

y

$y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس،

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم

a

$a$ و

h

$h$ و

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 5

$k = - 5$

خطوة 1.3

بما أن قيمة

a

$a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 5)

$(2, - 5)$

خطوة 1.5

أوجِد

p

$p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة

a

$a$ في القاعدة.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ

1

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع

p

$p$ مع الإحداثي الصادي

k

$k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم

h

$h$ و

p

$p$ و

k

$k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

x = 2

$x = 2$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح

p

$p$ من الإحداثي الصادي

k

$k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

y = k - p

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي

p

$p$ و

k

$k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

البؤرة:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

محور التناظر:

x = 2

$x = 2$

الدليل:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

البؤرة:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

محور التناظر:

x = 2

$x = 2$

الدليل:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

خطوة 2

حدد بعض قيم

x

$x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم

y

$y$ المناظرة. يجب تحديد قيم

x

$x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

1

$1$ في العبارة.

f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

1

$1$ .

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

خطوة 2.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح

4

$4$ من

1

$1$ .

f (1) = - 3 - 1

$f (1) = - 3 - 1$

خطوة 2.2.2.2

اطرح

1

$1$ من

- 3

$- 3$ .

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

خطوة 2.3

قيمة

y

$y$ عند

x = 1

$x = 1$ تساوي

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

0

$0$ في العبارة.

f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ينتج

0

$0$ عن رفع

0

$0$ إلى أي قوة موجبة.

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1$

خطوة 2.5.1.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف

0

$0$ و

0

$0$ .

f (0) = 0 - 1

$f (0) = 0 - 1$

خطوة 2.5.2.2

اطرح

1

$1$ من

0

$0$ .

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

خطوة 2.6

قيمة

y

$y$ عند

x = 0

$x = 0$ تساوي

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

3

$3$ في العبارة.

f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع

3

$3$ إلى القوة

2

$2$ .

f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1$

خطوة 2.8.1.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

3

$3$ .

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح

12

$12$ من

9

$9$ .

f (3) = - 3 - 1

$f (3) = - 3 - 1$

خطوة 2.8.2.2

اطرح

1

$1$ من

- 3

$- 3$ .

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

خطوة 2.9

قيمة

y

$y$ عند

x = 3

$x = 3$ تساوي

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

4

$4$ في العبارة.

f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع

4

$4$ إلى القوة

2

$2$ .

f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1$

خطوة 2.11.1.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

4

$4$ .

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

خطوة 2.11.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اطرح

16

$16$ من

16

$16$ .

f (4) = 0 - 1

$f (4) = 0 - 1$

خطوة 2.11.2.2

اطرح

1

$1$ من

0

$0$ .

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

خطوة 2.12

قيمة

y

$y$ عند

x = 4

$x = 4$ تساوي

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

\begin{matrix} x & y 0 & - 1 1 & - 4 2 & - 5 3 & - 4 4 & - 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

\begin{matrix} x & y 0 & - 1 1 & - 4 2 & - 5 3 & - 4 4 & - 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

البؤرة:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

محور التناظر:

x = 2

$x = 2$

الدليل:

$y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

خطوة 4