الجبر الأمثلة

f (x) = 3 x^{2} - 5

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ

3 x^{2} - 5

$3 x^{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم

a

$a$ و

b

$b$ و

c

$c$ .

a = 3

$a = 3$

b = 0

$b = 0$

c = - 5

$c = - 5$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة

d

$d$ باستخدام القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي

a

$a$ و

b

$b$ في القاعدة

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 3}

$d = \frac{0}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ

0

$0$ و

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (3)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (3)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{0}{3}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$0$ .

$d = \frac{3 (0)}{3}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$3$ .

$d = \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{0}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$d = 0$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة

$e$ باستخدام القاعدة

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم

$c$ و

$b$ و

$a$ في القاعدة

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = - 5 - \frac{0}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب

$4$ في

$3$ .

$e = - 5 - \frac{0}{12}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم

$0$ على

$12$ .

$e = - 5 - 0$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$e = - 5 + 0$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أضف

$- 5$ و

$0$ .

$e = - 5$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم

$a$ و

$d$ و

$e$ في شكل الرأس

$3 {(x + 0)}^{2} - 5$ .

$3 {(x + 0)}^{2} - 5$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة

$y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = 3 {(x + 0)}^{2} - 5$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس،

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم

$a$ و

$h$ و

$k$ .

$a = 3$

$h = 0$

$k = - 5$

خطوة 1.3

بما أن قيمة

$a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس

$(h, k)$ .

$(0, - 5)$

خطوة 1.5

أوجِد

$p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة

$a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.5.3

اضرب

$4$ في

$3$ .

$\frac{1}{12}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع

$p$ مع الإحداثي الصادي

$k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم

$h$ و

$p$ و

$k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - \frac{59}{12})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 0$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح

$p$ من الإحداثي الصادي

$k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي

$p$ و

$k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{61}{12}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(0, - 5)$

البؤرة:

$(0, - \frac{59}{12})$

محور التناظر:

$x = 0$

الدليل:

$y = - \frac{61}{12}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(0, - 5)$

البؤرة:

$(0, - \frac{59}{12})$

محور التناظر:

$x = 0$

الدليل:

$y = - \frac{61}{12}$

خطوة 2

حدد بعض قيم

$x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم

$y$ المناظرة. يجب تحديد قيم

$x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 5$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 5$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

$3$ في

$1$ .

$f (- 1) = 3 - 5$

خطوة 2.2.2

اطرح

$5$ من

$3$ .

$f (- 1) = - 2$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي

$- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.3

قيمة

$y$ عند

$x = - 1$ تساوي

$- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 5$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع

$- 2$ إلى القوة

$2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 5$

خطوة 2.5.1.2

اضرب

$3$ في

$4$ .

$f (- 2) = 12 - 5$

خطوة 2.5.2

اطرح

$5$ من

$12$ .

$f (- 2) = 7$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي

$7$ .

$7$

خطوة 2.6

قيمة

$y$ عند

$x = - 2$ تساوي

$7$ .

$y = 7$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 5$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 5$

خطوة 2.8.1.2

اضرب

$3$ في

$1$ .

$f (1) = 3 - 5$

خطوة 2.8.2

اطرح

$5$ من

$3$ .

$f (1) = - 2$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي

$- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.9

قيمة

$y$ عند

$x = 1$ تساوي

$- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$2$ في العبارة.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 5$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 5$

خطوة 2.11.1.2

اضرب

$3$ في

$4$ .

$f (2) = 12 - 5$

خطوة 2.11.2

اطرح

$5$ من

$12$ .

$f (2) = 7$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي

$7$ .

$7$

خطوة 2.12

قيمة

$y$ عند

$x = 2$ تساوي

$7$ .

$y = 7$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس:

$(0, - 5)$

البؤرة:

$(0, - \frac{59}{12})$

محور التناظر:

$x = 0$

الدليل:

$y = - \frac{61}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

خطوة 4