الجبر الأمثلة

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 4$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 4$

خطوة 1.2

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.3

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

خطوة 1.4

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.4.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.4.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8}$

خطوة 1.5

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, - \frac{31}{8})$

خطوة 1.6

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 1.7

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.7.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{33}{8}$

خطوة 1.8

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{31}{8})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{33}{8}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{31}{8})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{33}{8}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 2$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 2$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 2$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 - 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 4 - 2$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $2$ و $4$ .

$f (- 1) = 6 - 2$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $2$ من $6$ .

$f (- 1) = 4$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $4$ .

$y = 4$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 8 - 4 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f (2) = 8 - 8 - 2$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح $8$ من $8$ .

$f (2) = 0 - 2$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (2) = - 2$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 2$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 2$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $2$ في $9$ .

$f (3) = 18 - 4 \cdot 3 - 2$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f (3) = 18 - 12 - 2$

خطوة 2.11.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اطرح $12$ من $18$ .

$f (3) = 6 - 2$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $2$ من $6$ .

$f (3) = 4$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $4$ .

$y = 4$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 4)$

البؤرة: $(1, - \frac{31}{8})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{33}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}$

خطوة 4