الجبر الأمثلة

$y = x^{2} - 2 x - 2$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $x^{2} - 2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 2$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = - 2 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = - 2 - 1$

خطوة 1.1.1.4.2.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$e = - 3$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - 1)}^{2} - 3$ .

${(x - 1)}^{2} - 3$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = {(x - 1)}^{2} - 3$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 3$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, - \frac{11}{4})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{13}{4}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 3)$

البؤرة: $(1, - \frac{11}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{13}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 3)$

البؤرة: $(1, - \frac{11}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{13}{4}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 2$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 2$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 2$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 2$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = 3 - 2$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f (- 1) = 1$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $1$ .

$y = 1$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 2$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 2$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح $4$ من $4$ .

$f (2) = 0 - 2$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (2) = - 2$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 2$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 2$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 2$

خطوة 2.11.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اطرح $6$ من $9$ .

$f (3) = 3 - 2$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f (3) = 1$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $1$ .

$y = 1$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - 3)$

البؤرة: $(1, - \frac{11}{4})$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$

خطوة 4