الجبر الأمثلة

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$

خطوة 1

حلّل $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

خطوة 1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.3.4

اضرب $7$ في $1$ .

$1 + 7 + 7 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.3.5

أضف $1$ و $7$ .

$8 + 7 \cdot 1 - 15$

خطوة 1.3.6

اضرب $7$ في $1$ .

$8 + 7 - 15$

خطوة 1.3.7

أضف $8$ و $7$ .

$15 - 15$

خطوة 1.3.8

اطرح $15$ من $15$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15}{x - 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $8 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $8 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $15 x - 15$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 8 x + 15$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} + 8 x + 15)$

خطوة 2

حلّل $x^{2} + 8 x + 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{2} + 8 x + 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $15$ ومجموعهما $8$ .

$3, 5$

خطوة 2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x + 3) (x + 5))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x + 3) (x + 5)$