الجبر الأمثلة

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع الحدود.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $6 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{4}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

خطوة 1.3.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 4 x^{3}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

خطوة 1.3.3

اضرب في $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

خطوة 1.3.5

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

خطوة 1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ ومجموعهما $b = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 x$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

خطوة 1.4.1.1.2

أعِد كتابة $- 4$ في صورة $- 1$ زائد $- 3$

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

خطوة 1.4.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

خطوة 1.4.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

خطوة 1.4.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

خطوة 1.4.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $3 x - 1$ من $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $3 x - 1$ من $2 (3 x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $3 x - 1$ من $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $3 x - 1$ من $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

خطوة 1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

خطوة 1.7

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

خطوة 1.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

خطوة 1.7.2

أضف $2$ و $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

خطوة 1.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

خطوة 1.9

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

خطوة 1.10

أعِد ترتيب الحدود.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

خطوة 1.11

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

حلّل $x^{3} - x^{2} + 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 1.11.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

خطوة 1.11.1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

خطوة 1.11.1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

خطوة 1.11.1.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

خطوة 1.11.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

خطوة 1.11.1.3.5

اطرح $1$ من $- 1$ .

$- 2 + 2$

خطوة 1.11.1.3.6

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 1.11.1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

خطوة 1.11.1.5

اقسِم $x^{3} - x^{2} + 2$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

خطوة 1.11.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

خطوة 1.11.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.11.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.11.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 1.11.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 1.11.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 1.11.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 1.11.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 1.11.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

خطوة 1.11.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 1.11.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 1.11.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

خطوة 1.11.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

خطوة 1.11.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

خطوة 1.11.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 2 x + 2$

خطوة 1.11.1.6

اكتب $x^{3} - x^{2} + 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

خطوة 1.11.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + i, 1 - i$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

خطوة 7