الجبر الأمثلة

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

خطوة 1

عيّن قيمة $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $- x^{3}$ من $- x^{4} + x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $- x^{3}$ من $- x^{4}$ .

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $- x^{3}$ من $x^{3}$ .

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $- x^{3}$ من $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ ومجموعهما $b = - 41$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

أخرِج العامل $- 41$ من $- 41 x$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 41$ في صورة $- 20$ زائد $- 21$

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

خطوة 2.1.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

خطوة 2.1.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

خطوة 2.1.3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $x - 1$ من $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $- x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

خطوة 2.1.4.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $(21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

خطوة 2.1.4.3

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ .

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

خطوة 2.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

أعِد كتابة $- x^{3} + 21 x - 20$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1

حلّل $- x^{3} + 21 x - 20$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

خطوة 2.1.5.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

خطوة 2.1.5.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

خطوة 2.1.5.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

خطوة 2.1.5.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

خطوة 2.1.5.1.1.3.4

اضرب $21$ في $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

خطوة 2.1.5.1.1.3.5

أضف $- 1$ و $21$ .

$20 - 20$

خطوة 2.1.5.1.1.3.6

اطرح $20$ من $20$ .

$0$

خطوة 2.1.5.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

خطوة 2.1.5.1.1.5

اقسِم $- x^{3} + 21 x - 20$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

خطوة 2.1.5.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

خطوة 2.1.5.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.1.5.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 2.1.5.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

خطوة 2.1.5.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $20 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $20 x - 20$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

خطوة 2.1.5.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

خطوة 2.1.5.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- x^{2} - x + 20$

خطوة 2.1.5.1.1.6

اكتب $- x^{3} + 21 x - 20$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $4$ زائد $- 5$

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

خطوة 2.1.5.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

خطوة 2.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

خطوة 2.1.6

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

خطوة 2.1.6.2

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

خطوة 2.1.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

خطوة 2.1.6.4

أضف $1$ و $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $- x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $- x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 4 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 4$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 1, 4, - 5$

خطوة 3