الجبر الأمثلة

$(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2)$

خطوة 1

عيّن قيمة $(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2) = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2 = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حلّل $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

خطوة 2.2.1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.4

اضرب $2$ في $4$ .

$8 + 8 - 9 \cdot 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.5

أضف $8$ و $8$ .

$16 - 9 \cdot 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.6

اضرب $- 9$ في $2$ .

$16 - 18 + 2$

خطوة 2.2.1.3.7

اطرح $18$ من $16$ .

$- 2 + 2$

خطوة 2.2.1.3.8

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 2.2.1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2}{x - 2}$

خطوة 2.2.1.5

اقسِم $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$9 x$

$2$

خطوة 2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$

خطوة 2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

خطوة 2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$

خطوة 2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$

خطوة 2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$

خطوة 2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$

خطوة 2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$

خطوة 2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

خطوة 2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x + 2$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

خطوة 2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

خطوة 2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 4 x - 1$

خطوة 2.2.1.6

اكتب $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (x^{2} + 4 x - 1) = 0$

خطوة 2.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

خطوة 2.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.2.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.2.4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.2.4.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 2.2.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

خطوة 2.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (x^{2} + 4 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

خطوة 2.3

استبعِد الحلول التي لا تجعل $(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 3

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

$x = 0.23606797 \dots, - 4.23606797 \dots$

خطوة 4