الجبر الأمثلة

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

خطوة 1

عيّن قيمة $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

خطوة 2.1.5

حلّل $x^{3} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 2.1.5.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

خطوة 2.1.5.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 1 - 2$

خطوة 2.1.5.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 1 - 2$

خطوة 2.1.5.3.3

أضف $1$ و $1$ .

$2 - 2$

خطوة 2.1.5.3.4

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 2.1.5.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

خطوة 2.1.5.5

اقسِم $x^{3} + x - 2$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

خطوة 2.1.5.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

خطوة 2.1.5.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

خطوة 2.1.5.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.1.5.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.1.5.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 2.1.5.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.1.5.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

خطوة 2.1.5.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

خطوة 2.1.5.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

خطوة 2.1.5.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

خطوة 2.1.5.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

خطوة 2.1.5.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

خطوة 2.1.5.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + x + 2$

خطوة 2.1.5.6

اكتب $x^{3} + x - 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.6

أخرِج العامل $x - 1$ من $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.6.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.8.2

أضف $2$ و $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.9

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.10

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.11

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1

أعِد كتابة $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

خطوة 2.1.11.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

خطوة 2.1.11.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

خطوة 2.1.11.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 1$

خطوة 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 2.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 2.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 2.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2, i, - i$

خطوة 3