الجبر الأمثلة

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $1$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

خطوة 3.1.3

$\frac{1}{4}$ تساوي تقريبًا $0.25$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

خطوة 3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 4$

خطوة 3.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$8 π$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

خطوة 3.2.3

$\frac{1}{4}$ تساوي تقريبًا $0.25$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

خطوة 3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 4$

خطوة 3.2.5

اضرب $4$ في $2$ .

$8 π$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$8 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{4}$ إلى بسط الكسر.

إزاحة الطور: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

خطوة 4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $- π$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $1$

الفترة: $8 π$

إزاحة الطور: $- π$ ( $π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- 2$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- π$ في العبارة.

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

خطوة 6.1.2.1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (- π) = \cos (0) - 2$

خطوة 6.1.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- π) = 1 - 2$

خطوة 6.1.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (- π) = - 1$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.2

أضف $π$ و $π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

خطوة 6.2.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (π) = 0 - 2$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (π) = - 2$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3 π$ في العبارة.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

خطوة 6.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

خطوة 6.3.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

خطوة 6.3.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

خطوة 6.3.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (3 π) = - 1 - 2$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = 5 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5 π$ في العبارة.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.2

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (5 π) = 0 - 2$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (5 π) = - 2$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 7 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7 π$ في العبارة.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $7 π$ و $π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (7 π) = 1 - 2$

خطوة 6.5.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (7 π) = - 1$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $1$

الفترة: $8 π$

إزاحة الطور: $- π$ ( $π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

خطوة 8