الجبر الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

خطوة 1

أوجِد مدى الدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

$[- 7, \infty)$

خطوة 1.2

حوّل $[- 7, \infty)$ إلى متباينة.

$y \geq - 7$

خطوة 2

أوجِد المعكوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بادِل المتغيرات.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

خطوة 2.2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

خطوة 2.2.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.2.4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 8$ و $c = 1 - x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.6

اطرح $8$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.7

أخرِج العامل $8$ من $56 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.8

أعِد كتابة $8 (7 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.6

اطرح $8$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.7

أخرِج العامل $8$ من $56 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.8

أعِد كتابة $8 (7 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

خطوة 2.2.6.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.2.6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.6

اطرح $8$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.7

أخرِج العامل $8$ من $56 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.8

أعِد كتابة $8 (7 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

خطوة 2.2.7.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 2.3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

خطوة 3

أوجِد المعكوس باستخدام نطاق الدالة الأصلية ومداها.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

خطوة 4