الجبر الأمثلة

$\frac{4 r}{r^{2} - 1} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{r^{2} - 1^{2}} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = r$ و $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1^{2}}$

خطوة 1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 r = 2 \cdot r \cdot 1$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = r$ و $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

خطوة 2

لكتابة $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

خطوة 3

لكتابة $- \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ في $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) (r - 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4.2

ارفع $r - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} (r - 1))} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4.3

ارفع $r - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} {(r - 1)}^{1})} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{1 + 1}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

خطوة 4.6

اضرب $\frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ في $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 4.7

أعِد ترتيب عوامل $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 r (r - 1) - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 r \cdot r + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.2

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $r$ .

$\frac{4 (r \cdot r) + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.2.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{4 r^{2} + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.7

وسّع $(- 3 r - 1) (r + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r (r + 1) - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.1

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1.1.1

انقُل $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8.1.1.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8.1.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8.1.3

أعِد كتابة $- 1 r$ بالصيغة $- r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.8.2

اطرح $r$ من $- 3 r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.9

اطرح $3 r^{2}$ من $4 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 4 r - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

خطوة 6.10

اطرح $4 r$ من $- 4 r$ .

$\frac{r^{2} - 8 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$