الجبر الأمثلة

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

خطوة 1.1.1.3.2.3

اضرب $0 (- 1 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

خطوة 1.1.1.3.2.3.2

اضرب $0$ في $- 3$ .

$d = 0$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

خطوة 1.1.1.4.2.1.5

اضرب $0 (- \frac{3}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

خطوة 1.1.1.4.2.1.5.2

اضرب $0$ في $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

خطوة 1.1.1.4.2.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أضف $\frac{4}{3}$ و $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

خطوة 1.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

خطوة 1.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

خطوة 1.5.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

خطوة 1.5.3.4

اضرب $\frac{3}{4}$ في $1$ .

$- \frac{3}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, \frac{7}{12})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 0$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{25}{12}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, \frac{4}{3})$

البؤرة: $(0, \frac{7}{12})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = \frac{25}{12}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, \frac{4}{3})$

البؤرة: $(0, \frac{7}{12})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = \frac{25}{12}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

خطوة 2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

خطوة 2.2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

خطوة 2.2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

خطوة 2.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أضف $- 1$ و $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

خطوة 2.2.3.2

اقسِم $3$ على $3$ .

$f (- 1) = 1$

خطوة 2.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $1$ .

$y = 1$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

خطوة 2.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

خطوة 2.5.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

خطوة 2.5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

خطوة 2.5.3.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (- 2) = 0$

خطوة 2.5.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

خطوة 2.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

خطوة 2.8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

خطوة 2.8.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

أضف $- 1$ و $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

خطوة 2.8.3.2

اقسِم $3$ على $3$ .

$f (1) = 1$

خطوة 2.8.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $1$ .

$y = 1$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

خطوة 2.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

خطوة 2.11.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

خطوة 2.11.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

خطوة 2.11.3.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (2) = 0$

خطوة 2.11.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, \frac{4}{3})$

البؤرة: $(0, \frac{7}{12})$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

خطوة 4