الجبر الأمثلة

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

خطوة 1.2

اطرح $\sin (θ)$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

خطوة 2

بسّط $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب $2 \cos^{2} (θ)$ و $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $- 2$ من $2 \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

خطوة 2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لنفترض أن $u = \sin (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (θ)$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $u$ من $- 2 u^{2} - u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (θ) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 3.3.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - 0$

خطوة 3.3.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$θ = π$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $- 2 \sin (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $- 2 \sin (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (θ) = 1$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (θ) = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (θ) = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

خطوة 3.4.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 3.4.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 3.4.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

خطوة 3.4.2.7

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 3.4.2.8.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.4.2.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.4.2.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 3.4.2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 3.4.2.8.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 3.4.2.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{11 π}{6}$

خطوة 3.4.2.9

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$