الجبر الأمثلة

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $2 y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

خطوة 1.2

أضف $20 y$ إلى كلا المتعادلين.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

خطوة 1.3

أضف $49$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $2 y^{2} + 20 y + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{10}{2}$

خطوة 2.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

خطوة 2.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

خطوة 2.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{5}{1}$

خطوة 2.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $5$ على $1$ .

$d = 5$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $400$ على $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $50$ .

$e = 49 - 50$

خطوة 2.1.1.4.2.2

اطرح $50$ من $49$ .

$e = - 1$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليمين.

مفتوح على اليمين

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.5.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = - 5$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = - \frac{9}{8}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 1, - 5)$

البؤرة: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

محور التناظر: $y = - 5$

الدليل: $x = - \frac{9}{8}$

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 1, - 5)$

البؤرة: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

محور التناظر: $y = - 5$

الدليل: $x = - \frac{9}{8}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, - 5.70710678)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.1.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.1.3

حوّل $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 5.70710678$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, - 4.29289321)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.2.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.2.3

حوّل $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 4.29289321$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

أضف $10$ و $2$ .

$f (1) = - \frac{12}{2}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اقسِم $12$ على $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 6$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f (1) = - 6$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 3.3.3

حوّل $- 6$ إلى رقم عشري.

$= - 6$

خطوة 3.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

خطوة 3.4.2.1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.4.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

خطوة 3.4.2.1.6

اطرح $2$ من $10$ .

$f (1) = - \frac{8}{2}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم $8$ على $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 4$

خطوة 3.4.2.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (1) = - 4$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 3.4.3

حوّل $- 4$ إلى رقم عشري.

$= - 4$

خطوة 3.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 1, - 5)$

البؤرة: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

محور التناظر: $y = - 5$

الدليل: $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

خطوة 5