الجبر الأمثلة

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) = 25$

خطوة 1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2

بسّط ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2}$ بالصيغة $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ .

$(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.2

وسّع $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \cos (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

اضرب $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.1

اضرب $5$ في $5$ .

$25 \cos (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.1.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$25 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.2

اضرب $- 3$ في $5$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.4

اضرب $- 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.4.1

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.4.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.4.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 {\sin (x)}^{1 + 1} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- 15 \sin (x) \cos (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.1.3.3

اطرح $15 \cos (x) \sin (x)$ من $- 15 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

خطوة 2.2

انقُل $- 25$ .

$25 \cos^{2} (x) - 25 - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب $25 \cos^{2} (x)$ و $- 25$ .

$- 25 + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 25$ من $- 25$ .

$- 25 (1) + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.5

أخرِج العامل $- 25$ من $25 \cos^{2} (x)$ .

$- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $- 25$ من $- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 25 (1 - \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.7

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 25 \sin^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.8

أضف $- 25 \sin^{2} (x)$ و $9 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.9

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أضف $- 16 \sin^{2} (x)$ و $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

خطوة 2.9.2

أضف $- 30 \cos (x) \sin (x)$ و $0$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 4.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 5.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$