الجبر الأمثلة

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

خطوة 5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6

عوّض بقيم $a = - \sqrt{2}$ و $b = 1$ و $c = \sqrt{2}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.3

اضرب $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.6

أضف $1$ و $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.7

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

خطوة 7.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 7.4

اضرب $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.5.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.5.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.5.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.5.6

أضف $1$ و $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.5.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.5.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.5.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.5.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.5.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.6

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

خطوة 7.7

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\sqrt{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 12.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 12.4

بسّط $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 12.4.3.2

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$