الجبر الأمثلة

$f (r) = 4 π r^{2}$

خطوة 1

اكتب $f (r) = 4 π r^{2}$ في صورة معادلة.

$y = 4 π r^{2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$r = 4 π y^{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $4 π y^{2} = r$ على $4 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $4 π y^{2} = r$ على $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

خطوة 3.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

خطوة 3.2.2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

خطوة 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\frac{r}{4 π}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

خطوة 3.4.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

خطوة 3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{r}{π}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ في $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

خطوة 3.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ في $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

خطوة 3.4.5.2

ارفع $\sqrt{π}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

خطوة 3.4.5.3

ارفع $\sqrt{π}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

خطوة 3.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

خطوة 3.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{π}}^{2}$ بالصيغة $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{π}$ في صورة $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

خطوة 3.4.5.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

خطوة 3.4.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

خطوة 3.4.7

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ هي معكوس $f (r) = 4 π r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (r) = 4 π r^{2}$ و $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (r) = 4 π r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{r π}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$r π \geq 0$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $r π \geq 0$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $r π \geq 0$ على $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم $0$ على $π$ .

$r \geq 0$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $r$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (r) = 4 π r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ هو مدى $f (r) = 4 π r^{2}$ ومدى $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ هو نطاق $f (r) = 4 π r^{2}$ ، إذن $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ هي معكوس $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

خطوة 6