الجبر الأمثلة

$x + y^{2} = 4 y - 1$

خطوة 1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x = 4 y - 1 - y^{2}$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط $4 y - 1 - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

انقُل $- 1$ .

$x = 4 y - y^{2} - 1$

خطوة 2.1.1.2

أعِد ترتيب $4 y$ و $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 4 y - 1$

خطوة 2.1.2

أكمل المربع لـ $- y^{2} + 4 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = - 1$

خطوة 2.1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.2.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

خطوة 2.1.2.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$d = - 2$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.1.2.4.2.1.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4}{- 1}$ .

$e = - 1 - (- 1 \cdot 4)$

خطوة 2.1.2.4.2.1.2

اضرب $- (- 1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = - 1 - - 4$

خطوة 2.1.2.4.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$e = - 1 + 4$

خطوة 2.1.2.4.2.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$e = 3$

خطوة 2.1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 3$

خطوة 2.1.3

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = - {(y - 2)}^{2} + 3$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 2$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليسار.

مفتوح على اليسار

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(3, 2)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 2.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{11}{4}, 2)$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = 2$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = \frac{13}{4}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(3, 2)$

البؤرة: $(\frac{11}{4}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = \frac{13}{4}$

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(3, 2)$

البؤرة: $(\frac{11}{4}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = \frac{13}{4}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, 3.41421356)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اطرح $3$ من $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

خطوة 3.1.2.2

الإجابة النهائية هي $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

خطوة 3.1.3

حوّل $2 + \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= 3.41421356$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, 0.58578643)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اطرح $3$ من $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

خطوة 3.2.2.2

الإجابة النهائية هي $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

خطوة 3.2.3

حوّل $2 - \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= 0.58578643$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ في $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(2, 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اطرح $3$ من $2$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{1}$

خطوة 3.3.2.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (2) = 2 + 1$

خطوة 3.3.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$f (2) = 3$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$y = 3$

خطوة 3.3.3

حوّل $3$ إلى رقم عشري.

$= 3$

خطوة 3.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ في $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(2, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اطرح $3$ من $2$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{1}$

خطوة 3.4.2.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (2) = 2 - 1 \cdot 1$

خطوة 3.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (2) = 2 - 1$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = 1$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 3.4.3

حوّل $1$ إلى رقم عشري.

$= 1$

خطوة 3.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(3, 2)$

البؤرة: $(\frac{11}{4}, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

خطوة 5